在学术上，控制的稳固性基本就是渐进稳固性，BIBO稳固性是没有步伐证实渐进稳固性时的“退而求其次”的工具，不怎么上台面的 。可是工业界里的稳固性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个虽然是渐进稳固性，不但逐渐稳固下来，并且向设定值收敛；另一个则是稳固性，但纷歧定向设定值收敛，或者说稳固性比收敛性优先这样一个情形 。后者的情形就是需要PID控制系统稳固在还算靠谱的位置就可以了，几多靠近设定值就行，要紧的是不要动来动去，是不是正幸亏设定值反而并不是太主要 。这样的例子有许多，好比反应器的压力是一个主要参数，反应器压力不稳固，进料一会儿打得进去，一会儿打不进去，质料进料比例就要乱套，催化剂进料也不稳固，反应就不稳固 。可是反应器的压力究竟是2MPa照旧2.5MPa并没有太大的关系，只要逐步地但又稳固地向设定值收敛就足够了 。这是PID控制理论里较量少涉及的一个情形，但这也是工业上时常接纳积分主导的控制的一个主要缘故原由 。
系统的频率就是系统响应一连振荡时的频率，可是控制领域里有三拨人在倒腾：一拨是以机电类动力学系统为特色的电工身世，包括航空航天、火力控制、机械人等；一拨是以一连历程为特色的化工身世的，还包括冶金、造纸、化纤等；尚有一拨是以微分方程稳固性为特色的应用数学身世的 。在瓦特和抽水马桶的年月里，各坐各的山头，井水不犯河水，倒也太平 。但控制从艺术上升为理论后，总有人喜欢“统一”各个山头 。在控制理论的三国大战中，电工帮抢了先，好端端的控制理论里被塞进了电工里的频率 ？墒前】墒，这哪是频率啊，这是......复频率 。既然那些“失常”的电工党能折腾出虚功率来，那他们也能折腾出复频率来 。他们自虐倒也算了，只是苦了无辜之众，以后被迫受此精神折磨 。
事情的缘由是系统的稳固性 。前面提到，PID参数若是设得欠好，系统可能不稳固 。除了探索，有没有步伐从理论上盘算出合适的PID参数呢 ？有的 。动态历程可以用微分方程形貌，着实在PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量定常系数线性常微分方程 。要是还记得一点高数，一定还记得线性常微的解，除了疏散变量法什么的，若是自变量时间用t体现的话，最常用的求解照旧把eλt代入微分方程，然后解λ的代数方程(正式称呼是特征方程)，解出来的就是特征根 。这可以是实数，也可以是复数 。是复数的话，微分方程的解就要用三角函数睁开了(怎么样，昔时恶梦的感受找回来一点没有) 。实数根整个都是实部 。复数根可以剖析为实部和虚部，只要所有特征根的实部为负，那微分方程就是稳固的，由于负的指数项最终随时间向零收敛 。虚部究竟有多大就无所谓了，对稳固性没有影响，但对振荡频率有影响 。可是，这么求解剖析起来照旧禁止易，照旧超不出“详细情形详细剖析”，难以得出一样平常的结论 。
现在法国排不进第一天下了，再自豪的法国人都不敢自称超等大国，但昔时法国人是很牛的，除了凡尔赛宫和法国大餐外，尚有许多厉害的数学家 。其中一个叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出一个拉普拉斯变换，把常微分方程酿成s的多项式 。拉普拉斯变换是数学变换的一种，而数学变换是数学天下里一个十分精妙的游戏 ；辜堑媚峁爬埂た嬷餮莸挠跋贰豆也撇仿，淘宝人发明了一副巧妙的彩色偏振镜片，用差别组合，可以在《自力宣言》原稿背面看出差别的寻宝线索 。这虽然是骗票房的工具，但数学变换好比这彩色偏振镜片，从一个看似一堆混沌的工具里换一个角度去看，再换一个角度去看，可以看出许多玄妙来，尤其是结构性的特征 。用拉普拉斯变换处置惩罚常微分方程也是这个意思，可以从看似无从入手的常微分方程里，提出与稳固性相关的特征信息来 。对形貌动态历程的微分方程施加拉普拉斯变换后，微分方程就酿成了转达函数，这是经典控制理论的基础 。这内里的数学细节提及来较量啰唆，照旧留给严谨的教科书吧 。
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